Pavage du plan par l'hexagone
On peut également observer que les abeilles utilisent la construction hexagonale pour obtenir un plus grand rendement habitable sur une surface réduite. On démontre alors assez facilement que l'hexagone permet de paver le plan aisément :à partir d'un hexagone, les abeilles peuvent construire autour tout un réseau d'alvéoles contigües. De plus cette proximité permet un maintien thermique de la ruche exceptionnel.
Photo d'un cadre de ruche pris lors de l'interview de l'apiculteur à Nantes.
Nous allons donc montrer comment à partir d'un seul hexagone, il est aisé de paver tout un plan :
Un pavage, c'est le remplissage du plan avec un motif sans trous, sans chevauchement en utilisant des isométries.
Le pavé est la forme minimale que l'on peut transformer pour couvrir le plan. En prenant pour pavé un hexagone, on parvient à remplir le plan :
- à partir de deux translations
- à partir de deux rotations
- à partir de trois symétries axiales
- à partir de trois rotations
- à partir des composées de ces groupes
Les liens entre chacun de ses groupes sont des angles de 60° ou des angles de multiples de 60° (120°,180°, et 240°).
Si un groupe de pavage fonctionne, alors tout groupe de pavage contenant ce groupe est valide.
Nous montrerons donc à l'aide de figures réalisées sous geoplan, comment paver le plan à partir d'un même hexagone et des transformations précédement citées :
1. On peut tout d'abord paver le plan en prenant deux translations et leurs réciproques
Ici en utlisant les translations de vecteurs 
et 
on peut paver le plan.
2. A l'aide de deux rotations d'angles respectifs 60° et 120°, on parvient à la même fin.
Ici les rotations d'angles de couleurs bleue et verte permettent de passer d'un hexagone à l'autre.
3. Pareillement, trois symétries axiales autorisent le pavage du plan.
Ici, les trois symétries symbolisées par les droites vertes pavent l'intégralité du plan avec les hexagones.
4. Les rotations successives de 180° sont également des transformations favorisant le pavage du plan par l'hexagone.
ici, les rotations d'angles 180° et de centres I,J,K milieux respectifs des segments 
et 
fonctionnent.
En cela, l'hexagone est une forme privilégiée pour paver le plan, pour les structures géométriques à répétitions, tel le gateau de cire des abeilles. Ainsi, les abeilles tirent grand profit des possibilités qu'offent l'hexagone en matière de pavage, puisque ne présentant pas d'intersice entre chaque alvéole.
Vous pouvez cliquer sur chaque figure pour l'agrandir, appuyez sur la touche précédente du navigateur pour revenir consulter cette page. Les fichiers Geoplan affiliés aux pavages sont disponibles ci-dessous :
- Pavage par les translations : TRANS.G2W (2.24ko)
- Pavage par deux rotations : 2ROT.G2W (1.1Ko)
- Pavage par trois symétries axiales : SYM3.G2W (1.35Ko)
- Pavage par trois rotations de 180° : ROT180.G2W (1.25Ko)
1 FACTEURS FAVORISANTS DE L'ESSAIMAGE NATUREL.
- 1 La souche.
Autrefois les apiculteurs étouffaient les paniers les plus lourds et les plus légers pour ne conserver que ceux qui pouvaient passer l'hiver. Les paniers vides étant peuplés au printemps grâce aux essaims naturels. Pendant plusieurs siècles les souches essaimeuses ont été multipliées, ce caractère a donc été sélectionné. De nos jours encore certains pensent qu'il n'y a pas de bonne année sans essaims.
Dans le sud-ouest, l'essaimage naturel permet de préparer les colonies à la miellée de tournesol qui a lieu 7 a 8 semaines plus tard, car à ce moment, la jeune reine est en pleine ponte et la colonie est biologiquement apte à récolter. Mais hormis ce cas particulier de miellée tardive, l'essaimage naturel bien qu'étant une nécessité biologique, n'est pas un évènement qui favorise la pratique de l'apiculture rationnelle dans le but de produire du miel.
- 2 La race.
Certaines races ont naturellement des tendances à essaimer plus marquées, mais ce caractère se prête à la sélection et peut donc être atténué.
- 3 L'âge de la reine.
Les jeunes reines n'essaiment généralement pas et ce n'est qu'à partir de la deuxième année que le risque est significatif, les reines de trois ans présentent un risque important. Ce facteur est un des plus facile à maîtriser, l'élevage de reines ne présentant pas de difficultés de nos jours, mais pour ce faire il est absolument nécessaire de marquer les mères afin d'en connaître l'age.
Un signe précurseur de l'essaimage est l'élevage précoce des males.
- 4 Les conditions matérielles d'exploitation.
Chaque reine a une capacité de ponte qui lui est propre et qui correspond à sa race, à son écotype, à la richesse de la région, au climat, aux provisions d'hiver, a l'état sanitaire et à la qualité de l'habitat.
Lorsque l'espace de la ruche ne permet plus à la reine d'étendre son couvain selon ses besoins, il apparaît alors un déséquilibre entre la population d'adultes et la population d'immatures. En période d'élevage ceci est le facteur déclenchant de l'essaimage. Il sera aisé a l'apiculteur averti de ne pas atteindre le point de déséquilibre soit en donnant a la colonie suffisamment l'espace pour son couvain, soit en supprimant du couvain soit en supprimant des nourrices, soit en agissant sur ces trois facteurs,
- 5 Le cycle biologique.
L'essaimage naturel intervient toujours en fin de phase d'élevage, avant la période d'amassage. C'est une nécessité biologique, mais chaque année le phénomène n'a pas la même importante, quelque soit l'age de la reine. ll est donc évident que tout ce qui s'est passe depuis la mise en
hivernage et qui a influence le C.B.A (cycle biologique de l’abeille), aura influencé le besoin d'essaimage.
Un hiver doux avec de bonnes provisions favorise le démarrage et l'importance de la ponte, donc le développement du C.B.A. Une miellée pollenifere (colza) doublée d'une période humide de réclusion juste avant la période d'essaimage favorise le déséquilibre couvain/nourrices et le blocage de la ponte.
Tous ces facteurs sont à prendre en compte au jour le jour.
2 FACTEURS LIMITANTS DE L'ESSAIMAGE NATUREL.
- Jeune reine
- Souche peu essaimeuse (éviter certains hybrides).
- Surface de ponte suffisante et qualité des cadres correcte.
- Provisions et pollen ne présentant pas de risque de blocage.
- Ventilation suffisante.
- Absence de miellées pollenifères.
- Cire à construire.
- Suppression de couvain.
- Suppression de nourrices.
- Châtrage des cellules royales.
3 ESSAIMAGE ARTIFICIEL.
- 1 Introduction.
Si l'essaimage naturel ne peut être actuellement un moyen sûr et raisonnable pour accroître un rucher tout en assurant un rendement correct, l'essaimage artificiel par contre est le moyen rationnel qui permet de gérer une exploitation apicole moderne, d'éliminer les pertes dues à l'essaimage naturel (25% d'essaims artificiels afin de prévenir l'essaimage naturel), de standardiser les interventions et de mieux gérer le temps de travail.
-2 Description des différents types d'essaims.
Essaim nu avec reine fécondée. Autrefois utilisée dans l'exploitation des paniers c'est aujourd'hui la façon la plus pratique de tirer profit d'une vieille ruche où d'un tronc d'arbre. Pour ce faire on utilise le tapotement où le double tapotement.
Essaim orphelin avec couvain. Méthode pratiquée par de nombreux amateurs et professionnels, les abeilles élevant seules une nouvelle reine. La méthode peut être améliorée par le greffage d'un carré d'oeuf sélectionnés après avoir supprimé les premières cellules royales. Elle a l'inconvénient de ne pas élever les reines dans les meilleures conditions.
Abeilles avec couvain et cellule royale. Identique à la précédente, cette méthode a l'avantage de fournir une reine élevée dans des conditions optimales. Elle permet la sélection.
Abeilles avec couvain et reine fécondée. C'est une méthode couramment employée qui a le désavantage de fournir un essaim avec une reine pas toujours jeune et de laisser la souche orpheline, à moins de produire des reines fécondées dans des nucléis ou de les acheter.
Toutes ces méthodes ne peuvent que tirer avantage à être pratiquées en parallèle à un élevage de reines.
- 3 Techniques d'exploitation conduisant à la production d'essaims artificiels.
- Si la production d'essaims artificiels est un objectif, soit pour la vente soit pour accroître le rucher, il est nécessaire de stimuler la ponte des colonies à essaimer dès le début d'avril et de leur faire profiter de miellées telle que celle du colza.
- Avec des ruches sans cadres ou assimilées, la technique du double tapotement est idéale, elle permet d'obtenir deux essaims nus avec reine fécondée.
- Avec des ruches à cadres plusieurs méthodes sont envisageables :
- Essaim standard (3c+2p) avec reine fécondée (la souche reste orpheline).
- Essaim standard orphelin (prévention de l'essaimage sur la souche). (Plusieurs souches peuvent être utilisées).
- Essaim standard avec cellules royales soit issues d'un élevage artificiel, soit issues d'un orphelinage de la souche (méthode de l'éventail).
Ce sont des techniques qui se mettent en place rapidement voir même ponctuellement.
- La production d'essaims peut aussi résulter de techniques d'exploitation ayant pour but principal la production de miel, ce sont " les plans ". Certains permettent de produire plus, tout en prévenant l'essaimage, en renouvelant les reines, en permettant de traiter la varroase sans couvain, en produisant des essaims artificiels et en utilisant ces essaims, en produisant de la gelée royale ou des cellules royales. Tout n'es que logique dans le respect des mœurs de l'abeille. Ces plans remettent en cause toute la saison apicole et nécessitent de la part de l'apiculteur plus de soin et d'organisation. C'est dans leur pratique que le terme " apiculture " prend toute sa signification. On est alors loin de la cueillette améliorée pratiquée un encore trop grand nombre.
- 4 Quelques techniques facilitant la production d'essaims et leur développement.
Afin d'accroître la ponte d'une reine, l'apiculteur peut intervenir de différentes façons.
- Nourrissement stimulant. (20cl/jour/ruche de sirop miellé).
- Pâte protéinée.*(1)
- Sirop stimulant .*(2)
- Extension du nid à couvain. (Inversion du corps/plancher, insertion de cadres bâtis vides).
MARC FOUGEROUSE
*(1) Pâte proteinée : 4 kg de sucre glace, 1 kg de miel, 10cl l d’eau chaude, 200g de levure de bière déshydratée, 20g de pollen moulu a mettre sur les têtes de cadre + nourrissement liquide 50/50 dans nourrisseur.
Melanger le sucre glace et le miel pour obtenir une pâte homogène. Délayer la levure de bière et le pollen dans l'eau. Incorporer ce mélange à la pâte sucre/miel. Constituer des galettes d'environ 200 gr. à mettre sur la tête des cadres. Accompagner ce nourrissement protéiné d'un nourrissement stimulant liquide (sirop 1/1 donné à petites doses).
*(2) Sirop stimulant : 660 g d’alcool à 90° à acheter en pharmacie , 330g d’ammoniaque, 5g d’huile essentielle d’anis, 5g d’huile essentielle de citron, 5g d’huile essentielle de marjolaine et 5 g d’huile essentielle de girofle.
Mettre 20 gouttes de ce mélange par litre de sirop 50/50.
Démonstration : Organisation en rhombes
Pour mener à bien cette étude, nous ne considèrerons qu'un alvéole.
On ne s’interesse dans cette démonstration qu'uniquement à un tier du prisme originel composant l'alvéole d'abeille..
Nous tenterons de montrer les différences entre l'organisation spécifique des abeilles (en rhombes) et l'utilisation de prisme complet classique.
I-Comparaison des volumes
Dans un premier temps, nous tenterons de comparer les volumes des deux polyèdres.
Par hypothèses, 
Et 
Le polyèdre étudié est un prisme dont les couvercles sont des hexagones réguliers.
Donc par définition, on a 
<.>
Donc 
est un losange.
Donc ses diagonales se coupent en leur milieu et sont perpendiculaires.
Soit 
;leur point d'intersection,
Donc 
est le milieu de 
et 
.
Soit 
la rotation de centre 
et d'angle 
,
Donc 
et 
et 
.
est un losange,
Donc ses diagonales se coupent en leur milieu et sont parallèles.
Or 
milieu de 
,
Donc 
milieu de 
.
Donc 
.
, 
, 
et 
,
Donc l'image du tétraèdre 
est le tétraèdre 
.
est une rotation donc 
est une isométrie,
Donc 
est une similitude de rapport 
.
Donc par propriété, 
.
Ainsi, 
De ce fait, le choix d'une des deux structures n'influe pas sur le volume total de l'alvéole.
Nous chercherons alors à trouver une différenciation au niveau des aires exterieures de pour chacune des possibilités de construction.
II-Comparaison des aires
Ainsi, nous essayerons désormais de comparer les aires exterieures des deux structures.
Pour cela, il nous est tout d'abord nécessaire de réaliser quelques calculs de distances.
On pose 
Donc 
Nous avons pu voir que G était le milieu de 
et 
Donc 
Et 
Donc 
Or 
et 
donc 
Donc GAB est un triangle rectangle en G
Donc d’après le théorème de Pythagore,
Donc 
Donc 
Donc 
Or 
Donc 
est un losange
Donc ses cotés sont egaux donc 
est un face du prisme donc c'est un rectangle
Donc le triangle 
est rectangle en B.
Donc d'après le théorème de Pythagore, on a 
.
Nous avons pu voir dans la partie précedente que 
et 
Or 
est une isométrie donc 
Donc 
Donc 
Et 
Donc 
Donc 
Or 
et 
Donc 
SAB’C est un losange
Donc ses diagonales se coupent en leur millieux et sont orthogonales
Donc 
Or 
est le milieu de 
et de 
donc 
donc le triangle 
est rectangle en 
donc d’après le théoreme de Pythagore
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Or 
Donc 
Déterminons l’Aire de K
Nous allons donc maintenant calculer l'aire du tier de prisme non coupé.
Par hypothèse, 
est un face latérale du prisme donc c'est un rectangle
Donc 
Or 
et BE est une arète latéral du prisme
Donc 
Donc 
(1)
est aussi une face latérale du prisme
Donc par un raisonement analogue, on trouve 
(2)
est losange
Donc 
Or 
et 
Donc 
(3)
Ainsi, d'après (1), (2) et (3), on trouve 
Déterminons l'aire de L
Nous allons désormais calculer l'aire exterieure du prisme modifié.
Par hypothèse, 
SAB’C est un losange
Donc 
Or 
et 
Donc 
Donc 
(1)
ADEB' est un trapèze
Donc 
Or 
et 
Donc 
Donc 
(2)
B'DFC est un trapèze.
Donc 
Par un raisonement analogue, on trouve 
(3)
Avec 
et (3) on trouve 
Ainsi, l'aire de 
dépend de la variable 
.
Pour l'étudier, nous devons donc associer une fonction à cette aire.
On pose 
Donc 
est une distance donc 
definie sur 
Dérivons 
est dérivable sur 
Donc 
Donc 
Cherchons le signe de cette dérivée
Donc 
est du signe de 
donc 
et 
La fonction carré est croissante sur 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
pour 
Et 
pour 
Donc 
est décroissante pour 
et 
est croissante pour 
Ces résultats peuvent être résumés dans un tableau de variation de la fonction 
.
Ainsi la fonction 
admet un minimum en 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Or 
Donc 
Ainsi pour une grandeur donnée, l'aire de L est inferieure à l'aire de K.
Pour cette valeur, la structure employé par les abeilles apparait alors comme la plus économique.
Nous pourrions alors nous demander pour quelles valeurs de 
l'aire de L est infèrieure a l'aire de K
Cela se traduit par l'inéquation 
:
Or 
donc 
Et 
La fonction carré est croissante sur 
Donc 
Donc 
Donc 
On pose 
est une fonction polynome de discriminant 
Donc 
donc les racines de 
sont 
et 
et 
Donc 
et 
Donc 
et 
donc 
est du signe de 
à l'éxterieur des racines et du signe opposé à l'interieur
Donc 
pour 
Donc 
Ainsi, l'aire de K est infèrieure a l'aire de L si et seulement si 
est compris entre
et 
(Cette étude a été menée en prenant pour hypothèse de base AB=1
La valeur limite est donc de 0.471404*AB pour la longueur de OS.
Pour une valeur de OS comprise entre 0 et 0.471404AB , les abeilles ont intérêts a utiliser cette forme d'alvéole en raison de l'aire extèrieure qui est infèrieure à celle d'une structure classique en hexagone.)
Valeurs des angles
Par un calcul d'angle, nous pouvons parvenir à trouver la valeur approchée de 
On se propose alors de calculer la valeur de l'angle 
pour 
Dans le triangle 
, on utilise la formule d'Al-Kashi,
Ainsi, 
Or 
et 
Avec 
, on trouve 
Donc 
Donc 
Donc 
Donc 
Ainsi, on trouve 
Cette valeur des angles est proche de celle que de fameux mathématiciens avait trouvé par des méthodes différentes de celle-ci.
En cela, nous trouvons une valeur de 
de 
.
Or 
est le minimum de la fonction 
Donc cela confirme le fait que les abeilles utilisent le rapport de distance qui permet d'avoir la plus petite aire.
Par cela, elles font la plus grande économie de cire possible.
Finalement, nous avons bien montré à l'aide de ces deux raisonnements, que les alvéoles d'abeille présentent une forme particulière favorisant l'économie de cire, d'une part par l'emploi de l'hexagone, pavant le plan sans perte avec un périmètre réduit, et d'autre part avec l'emploi d'un fond en losanges, garant d'une surface externe minimum. Il s'agit donc d'une struture des plus ingénieuses.
Conclusion
En définitive, force est de constater que les abeilles, tirent grand profit de leur faculté de construction géométrique pour ériger des alvéoles en adéquation avec leur soucis d'économie de la cire. De plus, les propriétés de la cire sont telles qu'elles participent activement à la solidité et à la cohérence de l'alvéole. Par là, l'association de ce matériau et d'une pareille structure apparaît comme un choix judicieux, un systême remarquable.
De ce fait nous pouvons affirmer que l'emploi d'une forme et d'une matière très particulières dénote une gestion accrue de l'énergie et assure la pérennité de la ruche par la conservation sans faille des couvains et du miellat.
Il n'est donc pas étonnant de retouver la structure en gateau de cire dans de nombreux domaines : dans les pôts catalytiques, les ailes d'avions, certains planchers, les systèmes de collision à l'avant des trains étudiés pour amortir au mieux les chocs présentent pour la plupart une forme en nid d'abeille....
Photo prise à l'école centrale de NANTES, lors des portes ouvertes, représentant un amortisseur de choc à l'avant d'un train.
Nos fiches de synthèse respectives à propos de cette étude :
Conclusion
En définitive, force est de constater que les abeilles, tirent grand profit de leur faculté de construction géométrique pour ériger des alvéoles en adéquation avec leur soucis d'économie de la cire. De plus, les propriétés de la cire sont telles qu'elles participent activement à la solidité et à la cohérence de l'alvéole. Par là, l'association de ce matériau et d'une pareille structure apparaît comme un choix judicieux, un systême remarquable.
De ce fait nous pouvons affirmer que l'emploi d'une forme et d'une matière très particulières dénote une gestion accrue de l'énergie et assure la pérennité de la ruche par la conservation sans faille des couvains et du miellat.
Il n'est donc pas étonnant de retouver la structure en gateau de cire dans de nombreux domaines : dans les pôts catalytiques, les ailes d'avions, certains planchers, les systèmes de collision à l'avant des trains étudiés pour amortir au mieux les chocs présentent pour la plupart une forme en nid d'abeille....
Photo prise à l'école centrale de NANTES, lors des portes ouvertes, représentant un amortisseur de choc à l'avant d'un train.
Nos fiches de synthèse respectives à propos de cette étude :
et 
